Ещё раз про шансы и ауты

Ауты простые и дисконтированные

Ауты (от англ. outs или по-русски - концы) - это карты, которые помогут вам усилиться до выигрышной руки. То есть если в данный момент вы позади, но очередные карты помогут вам собрать комбинацию или улучшить текущую, то вот они и будут аутами. Рассмотрим небольшой пример: у вас карманные A♣Q♣, на флопе пришли J♠T♣6♥, сколько у вас аутов? В данный момент у вас старший туз, если предположить, что у кого-то из оппонентов есть пара, то вы победите, собрав пару старше, то есть вам помогут туз или дама, а также собрав стрит, для чего понадобится король. В колоде остаётся по три туза и дамы и четыре короля (точнее, они среди неизвестных нам карт), что даёт нам 3+3+4=10 аутов. Предположим, что на ривере пришло 3♣, а сколько аутов теперь? Предыдущие ауты никуда не делись, но теперь у нас ещё и флэш-дро, то есть нам поможет также любая трефа. Мы видим четыре трефы из 13 карт одной масти, значит остаётся ещё девять. Но вспомните, что в качестве аутов мы уже учли четырёх королей, один из которых был трефовым, значит мы должны добавить только восемь аутов (а вот с дамами и тузами ситуация другая, тут трефы у нас на руках и в качестве аутов учитываются три других масти). Итак, у нас получается 10+9-1=18 концов. В качестве практики можете посчитать количество аутов с А♠3♠ при Т♠5♠4♥ на столе (ответ белым виден после выделения текста: 9 аутов на флэш, 3 аута на двойку для стрита - с учётом того, что 2♠ уже учтена среди концов на флэш, 3 аута на тузов, итого 15 аутов).

Правда, у нас есть одна проблема - вы не всегда можете быть уверены, даст ли приход той или иной карты вам выигрышную комбинацию. Например, если в нашем первом примере у кого-то уже есть две пары или сет, то ваши ауты на туза и даму, дающие лишь пару, уже считать смысла нет и у вас остаётся лишь четыре аута на королей. Таким образом, вы должны сначала оценить, какая комбинация есть у противника. К сожалению, точно знать вы этого не можете, но можете использовать свои оценки. Другая проблема - когда какая-то карта улучшает вашу руку, но в то же время даёт противнику ещё более сильную комбинацию. Опять же возьмём наш первый пример, если у кого-то из противников АТ, то туз, который даст вам пару, улучшит его до двух пар, и вы останетесь позади. Понятно, что туза в этом случае не следует считать за аут и у вас будет только 3 аута на дам и 4 на королей, итого - 7 штук.

Процедура учёта (вычитания) аутов, которые вам не помогут, называется дисконтированием. Как я уже говорил выше, вы не можете точно знать, какие карты есть у противников, поэтому процесс дисконтирования носит вероятностный характер. Вы должны постараться оценить возможность, что оппоненты могут «убить» ваши ауты и внести корректировку в подсчёт концов. Как обычно - пример. Вы вошли в игру после лимпера также лимпом с К♣Q♣, следом за вами был рейз, также вошёл в игру большой блайнд. На флопе пришли J♣9♥4♣. Если считать, что сильнейшая комбинация на данный момент - пара (а при трёх противниках, один из которых рейзил, это вполне вероятно), то у вас 9 аутов на флэш, 3 аута на стрит (ещё раз напоминаю, что десятку треф мы уже учли среди аутов на флэш) и шесть аутов на старшую пару королей или дам, итого - 18. Но подумаем, что могло быть, например, у префлоп-рейзера? Если его диапазон рейза ТТ+, AJ+, то против АQ+ и JJ+ у вас просто нет аутов на старшие пары (думаю, это очевидно: с JJ у него готовый сет, АА ваша пара не бьёт, при AQ или QQ приход дамы даст оппоненту или пару с лучшим кикером или сет). Получается, что с парой вы победите только ТТ и AJ. ТТ и AJ составляют порядка 1/3 из возможных карт рейзера, значит в 2/3 случаев ваши ауты на короля и даму не работают, соответственно их мы должны дисконтировать, у нас останется только 6*1/3=2 аута на королей и дам. А ещё возможен случай, что у кого-то Ах треф. Это может быть и блайнд, и лимпер. Вероятность небольшая, но если мы оцениваем её всего в 10%, это заставит нас дисконтировать один аут на флэш (9*0,1=0,9 и округляем до 1). В итоге после дисконтирования аутов у нас останется 8 аутов на флэш, 3 аута на стрит (к счастью, приход десятки нам тут не угрожает) и 2 аута на топ пару, итого - всего 13. Изменение количества аутов может серьёзно изменить правильность того или иного решения, как мы увидим дальше, поэтому важно максимально точно оценивать количество аутов, не забывая их дисконтировать в случае необходимости.

Вот вам ещё одна задачка на подсчёт и дисконтирование аутов: вы вошли в игру лимпом с A♠9♠, следом за вами ещё один лимп, затем рейз и один из блайндов кол. На флопе приходит Q♠T♣5♠, давая вам одну оверкарту и флэш дро (надеюсь, вы легко оцените, что у вас 9+3=12 аутов). Префлоп рейзер ставит, лимпер и вы отвечаете, на ривере приходит 8♥, сколько аутов у вас теперь? А если дисконтировать, предполагая, что у префлоп-рейзера с вероятностью 33% QQ и ещё 33% - AQ, а у лимпера с вероятностью 30% есть девятка и вероятностью 50% - флэш-дро? Рекомендуемый ход размышлений и подсчётов опять белым далее: чистых аутов у вас по-прежнему 9 на флэш и 3 на пару тузов, к этому добавляется 3 аута на валетов для стрита. Теперь будем дисконтировать :). Против AQ не работает ваш туз, так как вероятность этой карты у противника 33%, то вы должны вычесть 3*0,33=1 аут. Против QQ то же самое, туз не работает, теряем ещё один аут, но тут есть ещё одна проблема. Если придёт T или 8 пик, то вы получите свой флэш, но противник улучшиться до фула и победит. Таким образом, вы должны дисконтировать и ауты на флэш, получим 2*0,33=0,66. Если у противника есть 9, то при приходе валета вы разделите банк. Тот факт, что вы возьмёте не весь банк, а лишь половину, эквивалентен ополовиниванию аутов. Так как вероятность девятки лишь 50%, то дисконтируем 3*0,5*0,5=0,75 аута. Что касается возможности наличия двух пик у одного из игроков, то если вы считаете такую возможность случайной, то её никак учитывать не надо, но если вероятность, что у кого-то из игроков есть на руках карты вашей масти, по вашему мнению, больше 5-6% для случайных карт, то это надо учесть. В данном случае в 50% две пики на руках, а значит в колоде их остаётся на две меньше. Таким образом дисконтируем 2*0,5=1 аут. В итоге мы насчитаем после дисконтирования 15-1-1-0,66-0,75-1=10,6 аутов. Только не подумайте, что всё так сложно - это я тут наворотил в одном примере уйму всего, что на практике встречается очень редко и часто спокойно можно проигнорировать. Вероятность сплита со стритом или сета, улучшившегося до фула на практике практически никто не учитывает, да и вряд ли вы с уверенностью сможете поставить противника на такое же флэш-дро, хотя если вы тянете не старший флэш, то тут придётся дисконтировать не 1-2 аута, а больше, так как вы можете проиграть руку тузовому флэшу. На практике часто дисконтируют шансы на туза, так как у противников часто бывают тузы, да на старшие пары, если подозревают, что у противников две пары и старше.

Вероятности и шансы на улучшение

Подсчёт аутов - это первый шаг. Собственно оценить шансы вы сможете за 1-2 секунды, на дисконтирование может уйти ещё несколько, но в целом это занятие совсем несложное и после короткой практики вы запомните те несколько возможных комбинаций различных дро и соответствующих им концов. Второй шаг на самом деле тоже весьма прост - он заключается в оценке вероятности улучшения или шансов на улучшение. Я расскажу что и как считается, но в начинающие игроки могут пользоваться готовой таблицей (я дам её чуть ниже), а потом вы уже наизусть запомните нужные вам цифры для самых популярных значений аутов.

Чтобы определить, стоит ли отвечать на чужую ставку или нет, вам надо знать вероятность улучшиться на последующих улицах. Вы посчитали ауты, вы знаете, что вам может помочь выиграть 9 карт (это типичный пример - флэш-дро). Как часто вы улучшитесь? Если вы на флопе, то вам известно пять карт (две на руках и три на столе) из 52 в колоде. Значит остаётся 47 неизвестных карт и вам помогут только 9. Соответственно, вероятность улучшиться 9/47=19,15%. Если же уже тёрн, то известно 6 карт и вероятность улучшиться 9/46=19,57%. Как видите, числа отличаются очень незначительно, поэтому для простоты обычно полагают вероятности примерно равными, на самом деле указанная тут точность до сотых на практике совершенно не нужна. Но на практике игроки чаще пользуются не вероятностью на улучшение, выраженной в процентах, а отношением числа успешных и неуспешных улучшений. В нашем случае мы улучшаемся в 9 случаях, не улучшаемся в 47-9=38 случаях. Итого шансы на улучшение 9 к 38 или 1 к 4,22 (на тёрне 1 к 4,11, но на практике часто округляют до 1 к 4). Иногда, как в таблице ниже, указывают соотношение наоборот - количество неудач к количеству удач, то есть 4,22 к 1, но это не принципиально, просто перестановка чисел местами. Обратите внимание, что шансы на улучшение записываются как 1 к 4 или реже 1:4, но не 1/4. А вот вероятность улучшения - в процентах 19% или изредка как 1/5. Надеюсь, вы догадываетесь, что вероятность улучшения и шансы на улучшение это фактически одно и то же по логике значение, хотя формулы немного разные. Вероятность и шансы легко пересчитать друг в друга, например, 6 аутов (две оверкарты) имеют вероятность улучшения 6/47=12,8%, пересчитываем в шансы как 12,8 к (100-12,8) или 1 к 6,8. Но на практике такой пересчёт не нужен, можете формулу не запоминать :).

Выше мы рассматривали случай, когда вы планируете брать только одну карту, но бывают ситуации, когда вы находитесь на флопе и довольно твёрдо намерены посмотреть обе карты - и тёрна, и ривера. В этом случае вас будет интересовать вероятность улучшения хотя бы на одной из двух улиц. Мы знаем вероятность улучшиться на каждой из этих улиц по отдельности, казалось бы, чтобы определить вероятность улучшиться хотя бы на одной надо сложить вероятность для каждой из улиц, то есть для флэша 19,15+19,57=38,72%, но на самом деле это не так. Складывать можно только вероятность независимых событий, а в данном случае вероятность прихода карты на ривере зависит от того, что придёт на тёрне. Правильный подсчёт должен основываться на формуле условной вероятности (она же формула Байеса) или, как это делают на практике, через обратные вероятности (это гораздо проще, особенно в сложных случаях, когда больше чем два события). Нас интересует вероятность получить нужную карту на тёрне или ривере, это событие противоположно тому, что на тёрне и ривере придут ненужные нам карты. Вероятность, что придут ненужные карты, соответственно, (47-9)/47 и (46-9)/46 (или 1-вероятность получить нужные карты, то есть 1-19,15% и 1-19,57%), в итоге нужная нам вероятность считается как 1-(1-19,15%)*(1-19,57%)=35%. Как видите, разность с простым суммирование довольно значительна, причём, чем больше аутов, тем больше будет ошибка при простом суммировании (кто настаивает на суммировании, представьте, что вы выкладываете не 2 карты, а 7. В этом случае сумма изрядно превысит 100%, чего не может быть в принципе).

Теорию узнали, но повторю ещё раз, обычно вычисления игроки не делают, а пользуются готовыми числами - со временем и вы запомните таблицу аутов, вот она:

	Вероятность улучшения			Шансы против улучшения
Ауты	1 карта тёрна	1 карта ривера	2 карты	1 карта тёрна	1 карта ривера	2 карты
1	2,13%	2,17%	4,26%	46,0 к 1	45,0 к 1	22,5 к 1
2	4,26%	4,35%	8,42%	22,5 к 1	22,0 к 1	10,9 к 1
3	6,38%	6,52%	12,49%	14,7 к 1	14,3 к 1	7,0 к 1
4	8,51%	8,70%	16,47%	10,8 к 1	10,5 к 1	5,1 к 1
5	10,64%	10,87%	20,35%	8,4 к 1	8,2 к 1	3,9 к 1
6	12,77%	13,04%	24,14%	6,8 к 1	6,7 к 1	3,1 к 1
7	14,89%	15,22%	27,84%	5,7 к 1	5,6 к 1	2,6 к 1
8	17,02%	17,39%	31,45%	4,9 к 1	4,8 к 1	2,2 к 1
9	19,15%	19,57%	34,97%	4,2 к 1	4,1 к 1	1,9 к 1
10	21,23%	21,47%	38,39%	3,7 к 1	3,6 к 1	1,6 к 1
11	23,40%	23,91%	41,72%	3,3 к 1	3,2 к 1	1,4 к 1
12	25,53%	26,09%	44,96%	2,9 к 1	2,8 к 1	1,2 к 1
13	27,66%	28,26%	48,10%	2,6 к 1	2,5 к 1	1,1 к 1
14	29,79%	30,43%	51,16%	2,4 к 1	2,3 к 1	1,0 к 1
15	31,91%	32,61%	54,12%	2,1 к 1	2,1 к 1	0,9 к 1
16	34,04%	34,76%	56,98%	1,9 к 1	1,9 к 1	0,8 к 1
17	36,17%	36,96%	59,76%	1,8 к 1	1,7 к 1	0,7 к 1
18	38,30%	39,13%	62,44%	1,6 к 1	1,6 к 1	0,6 к 1
19	40,43%	41,30%	65,03%	1,5 к 1	1,4 к 1	0,5 к 1
20	42,55%	43,48%	67,53%	1,4 к 1	1,3 к 1	0,5 к 1
21	44,68%	45,65%	69,94%	1,2 к 1	1,2 к 1	0,4 к 1

Напоследок о вероятности собрать бэкдор (он же раннер). Бэкдор - комбинация, для которой требуется определённая карта как на тёрне, так и ривере. Типичный пример - бэкдорный флэш, когда у вас, скажем А♥4♥, на флопе К♣Т♥5♠. Чтобы вы могли собрать флэш вам нужен приход червы как на тёрне, так и ривере. На тёрне вам помогут 10 червей, вероятность прихода червы 21,23%, если черва придёт, то на ривере останется 9 с вероятностью прихода 19,57%. Вероятность, что нужные карты придут на обоих улицах 21,23%*19,57%=4,15% - это эквивалент примерно двух аутов. Иногда, если у вас не тузовый бэкдорный флэш, то его дисконтируют до 1,5 аутов, бэкдорный стрит-дро считают за один аут (если у вас три карты подряд, без «дырок»), другие виды бэкдоров не учитывают.

Шансы банка

Подходим собственно к процедуре принятия решений. Мы уже знаем вероятность улучшения, следующий ход - подсчёт шансов банка. Шансы банка - это отношение общей суммы банка к той ставке, которую вы должны сделать. Например, если на префлопе в банк было вложено $50, а на флопе перед вами ставят $25, то всего в банке на данный момент 25+50=$75, а вам необходимо поставить $25. Соответственно, шансы банка составляют 75 к 25 или 3 к 1, также часто записывается как 3:1. Предположим, у вас флэш-дро и 9 аутов. Вы улучшитесь на тёрне в одном случае и не улучшитесь в 4,2. Соответственно, если вы ответите на ставку, то выиграете банк $75 один раз, а в 4,2 случаях вы проиграете свою ставку $25. Общий результат - 1*75-25*4,2=-$30, то есть кол для вас невыгоден. А если у вас 12 аутов (флэш-дро плюс оверкарта либо дырявый стрит-дро)? Тогда шансы на улучшение 1 к 2,9, математическое ожидание кола будет 1*75-25*2,9=+$2,5, то есть кол хоть и маржинально, но выгоден. В итоге логика принятия решения об ответе на чужую ставку проста - если ваши шансы банка выше, чем шансы против улучшения (см. таблицу выше) - отвечайте, если меньше - сбрасывайтесь (так как все шансы обычно приводят к единице, то можно сравнивать просто первые числа в отношениях, например, в наших двух примерах 3<4,2 - сбрасываемся, 3>2,9 - отвечаем). Для закрепления опять же небольшая задачка: к тёрну в банке $130, игрок ставит $20, второй за ним следом отвечает. У вас «дырявый» стрит-дро, будете ли вы отвечать? Ответ: у вас 4 аута, шансы на 10,5:1. В банке в данный момент 130+20+20=$170, вам надо доставить $20, то есть шансы банка 170 к 20 или 8,5 к 1. Как видите, шансы банка меньше, чем шансы против улучшения, кол невыгоден. Его матожидание 170*1-20*10,5=-$40.

Правда, выше я дал несколько упрощённый вариант, когда ваш ход - последний. На практике частенько за вашей спиной будет ещё кто-то и вы должны будете учесть возможное действие этого игрока. Например, в банке $50, игрок перед вами ставит $20, у вас флэш-дро и за вами ещё один игрок, стоит ли отвечать? Если посчитать текущие шансы банка, то это 70 к 20 или 3,5 к 1 - недостаточно для кола. Но за вами ещё один игрок, он тоже может поставить деньги в банк и это надо учесть, так как вы получаете шанс и на его деньги. Если вы вполне уверены, что этот игрок именно проколлирует (лузово-пассивный), то шансы банка возрастут до 90 к 20 или 4,5:1 - уже можно отвечать. Но в то же время, если это игрок агрессивный, особенное если он был префлоп-рейзером, то от него можно ожидать рейза. В этом случае вы полагаете, что начальный беттор также ответит, в этом случае вы вынуждены будете поставить уже $40, а в банке будет 50+40+40 и шансы банка составят 130 к 40 или 3,3:1 - то есть самые низкие. И это я взял пример из лимитного холдема, где размер ставок фиксирован, а в безлимите всё сложнее, так как рейз может пойти на значительную сумму, которую вы не сможете так легко определить. Поэтому считая шансы банка, когда за спиной ещё возможны ставки, будьте осторожны и учитывайте возможность рейза или кола.

И ещё одна разница между лимитом и безлимитом при подсчёте шансов банка. В безлимите практически всегда сравнивают шансы банка с шансами против улучшения при приходе одной карты, а вот в лимите может учитываться вероятность улучшиться и на двух картах - тёрна и ривера. Разница тут в размере ставок. В лимите величины ставок известны и фиксированы. Если банк уже достаточно велик, а у вас много концов (обычно это от 8 и выше), то практически при любом раскладе у вас будет достаточно шансов банка, чтобы отвечать и на тёрне, и на ривере. Поэтому вы можете сразу же взять вероятность улучшения на двух улицах, то есть для флэш-дро это чуть лучше чем 1 к 2. В безлимите, скажем, на тёрне игрок может дать ставку больше банка и все ваши шансы рассыпятся, поэтому здесь считаем по одной карте за раз. Правда, тут может быть исключение, когда у вас или оппонента короткий стек и игра скорее всего закончится ва-банком, тогда можно считать шансы по двум картам.

Причём, в этом случае вы должны считать не текущие шансы на флопе, а шансы с учётом ставок на следующих улицах, которые называются потенциальными шансами. Потенциальные шансы банка учитывают все ставки, которые вы сможете заполучить в случае успеха, а также те ставки, которые вы будете должны поставить в ответ на чужие ставки не только на флопе, но и на тёрне. Как я уже сказал, в безлимите с потенциальными шансами сложнее, так как не очень просто определить возможную величину ставки оппонента на тёрне, да и сколько вы сможете «выжать» на ривере в случае удачи тоже непонятно. Тем не менее, возьмём первый пример из безлимита, то самое вышеупомянутое исключение: вы на флопе с блайнда отвечаете на префлоп-рейз с А♥4♥, на столе К♥5♥2♣. В банке $50 и после вашего чека противник ставит $30. Вы считаете, что у него скорее всего КК, АК или АА, в этом случае у вас 12 аутов (9 на флэш и 3 на стрит). Шансы банка 80 к 30 или 2,7:1 в то время как шансы против улучшения 2,9:1, то есть для кола недостаточно. Но у противника остаётся лишь $50 и вы вполне уверены, что эти деньги тоже окажутся в банке уже на тёрне. Получается, вы должны будете поставить всего 80 в банк 130, что даёт шансы банка 1,6:1. А шансы улучшиться при помощи двух карт составляют 1 к 1,2. Таким образом вам будет выгодно ответить с учётом потенциальных шансов (потенциальные шансы банка 1,6:1 больше шансов 1,2:1).

Аналогично потенциальные шансы считаются и в лимитном холдеме. Например, у вас K♠J♥ при флопе Т♣9♠3♥ и оппонент ставит $2 в банк $5. Подразумевая, что у противника пара, у вас 6 аутов на оверпары и 4 - на стрит, итого 10 и шансы против улучшения 3,7:1, что недостаточно при шансах банка 3,5:1. Давайте оценим потенциальные шансы. Предположим, что в случае прихода ваших аутов оппонент не будет ставить сам, но ответит на ваши ставки на обоих улицах (он достаточно лузовый), и будет ставить сам, если придут младшие карты. В этом случае он доставит в банк ещё $4*2=$8, что даст общий банк $15. Вы должны будете поставить $2+$4=$6 (ставка на ривере не учитывается, там вы будете ставить только с готовой рукой и сброситесь без улучшения), то есть шансы банка остаются 2,5:1 (15 к 6). Но в этом случае вы увидите обе карты, при этом ваши шансы на улучшение - 1 к 1,6, то есть изрядно лучше, чем потенциальные шансы банка, и вы должны отвечать.

Как можно считать на практике

Лично я на практике действую также, как и указано выше - считаю ауты (тут чистая арифметика), иногда дисконтирую. Для самых популярных комбинаций и соответствующим им концам я помню шансы на улучшение. То есть флэш-дро (9 аутов) улучшается примерно 1 к 4 (1 к 2 при двух картах), а оверкарты (6 аутов) - 1 к 7 (1 к 3). Если не помню, то либо пользуюсь распечатанной таблицей шансов, либо быстренько считаю сам. Формула (47-аут) к аут весьма проста и легко упрощается в уме. Аналогично просто определить и шансы банка, тем более что и ставка и текущая величина банка обычно указывается в онлайне. После чего сравниваю их и принимаю решение.

Но есть и альтернативный способ, он основывается не на шансах, а на вероятностях. Опять же, у вас есть готовая таблица с вероятностью улучшиться, но эту вероятность можно и быстро прикинуть. Помните формулу для вероятности улучшения? Аут/47 - здесь в знаменателе 47 довольно близко к 50, то есть каждый аут даёт порядка 2% шансов на улучшение. Поэтому в большинстве случаев вы можете оценить вероятность улучшиться по упрощённой формуле аут*2%+1% - это гораздо проще, чем делить на 47. Вы можете убедиться, что формула даёт хорошие результаты, близкие к истине. Чтобы формула была ещё точнее, можно разбить на несколько диапазонов: при 1-3 аутах считать как аут*2%, при 4-11 - аут*2%+1%, при 12 и выше - аут*2%+2%. После этого считаем отношение вашей ставки уже к полному банку, включая ту самую ставку, в процентах: ставка/(текущий банк+ставка). Ну и сравниваем вероятность улучшения с этим отношением банка, если вероятность улучшения больше - отвечаем, меньше - сбрасываемся. Небольшой пример: у вас АК при J93 (радуга) на столе. Противник ставит $20 при банке $90, будите ли вы отвечать? У вас две оверкарты, то есть 6 аутов, считаем, что они все хорошие и дисконтировать не надо. 6 аутов это 6*2%+1%=13% на улучшение. Отношение ставки к полному банку 20/(90+20+20)=2/13=15% (можно оценить, что 1/6,5 это между 1/7=14% и 1/6=16%). Как видите, вероятность улучшения меньше отношения ставки к банку, значит надо сбрасываться. Аналогичный результат вы должны получить, если будете считать через шансы, можете проверить и убедиться.

Надеюсь, эта статья поможет вам лучше разобраться с математикой покера и убедиться, что совершенно никаких сложностей эта математика не представляет. Успехов вам за столом!

Об авторе: Корешков Юрий